Matematika a změna sportovních pravidel

Stolní tenis jsme kdysi hráli aspoň občas asi všichni. Vybavení je levné, hra nevyžaduje příliš prostoru, nezávisí na počasí venku a na rozdíl od fotbalu či hokeje si vystačí dva lidé (pomiňme další výhody, hrací prostor je třeba na rozdíl od tenisového kurtu i rozumně omezený :-) ). Pamětníci vědí, že se hrálo na velké či malé sety, do 21 či 11, přičemž se muselo vyhrát o dva body. Oficiální utkání se konala na velké sety, na dva vítězné – tj. maximálně na tři sety celkem.

Dnes je tomu standardně (či vždy?) jinak. John D. Barrow popisuje, jak změna pravidel ovlivnila šance na úspěch jednotlivých hráčů – v tom smyslu, zda nyní hraje náhoda větší či menší roli. V současnosti se ping-pong hraje na 4 vítězné sady do 11 bodů, opět je třeba vyhrát o 2 body. Podání se nestřídají po 5, ale po 2, v „nastavení“ se hráči střídají po 1 (to je stejné jako v předešlé verzi). Ke změně došlo zřejmě proto, aby utkání bylo pro diváky atraktivnější (to Barrow nezmiňuje, ale bylo mi zděleno, že za tímto účelem se změnil i míček, aby ho šlo lépe sledovat, ať už na živo nebo především při přenosu). Když se hraje více setů, set na jednu bránu trvá kratší dobu a poražený může snadněji zvrátit hru v dalším setu, nedohrává se „z povinnosti“.

Barrow shrnuje – pravidla by měla přinést co nejvíc napětí, zároveň ale minimalizovat pravděpodobnost, že slabší hráč zvítězí v důsledku náhody/štěstí. Nemá cenu hrát na jeden míček (moc velká náhoda), sety by ale měly být co nejkratší (zajímavé pro diváky). Jak s těmito cíli koresponduje uvedená změna pravidel?

Následuje úryvek z knihy:

Předpokládejme, že pravděpodobnost, že určitý hráč uhraje vítězný bod, je vždy stejná a má hodnotu p, a že k vítězství v zápasu je potřeba vítězně vyhrát n her. Pak můžeme vypočítat pravděpodobnost, že tento hráč nasbírá n vítězných bodů dříve než n ztrát. Kvůli zjednodušení předpokládejme, že oba soupeři jsou poměrně vyrovnaní, takže p se velmi blíží 1/2. Použijeme-li zápis p = 1/2 + s, kde s je velmi malá hodnota (mnohem menší než 1/2), bude pravděpodobnost dřívějšího získání n vítězných bodů ještě před nasbíráním n neúspěchů přibližně následující:2

Q = 1/2 + 2s√(n/π).

Všimněte si, že když je pravděpodobnost získání vítězného bodu přesně 1/2, bude mít s nulovou hodnotu a pravděpodobnost výhry v celém zápase Q je také 1/2. Dále vidíme, že velmi malá výhoda ve prospěch jednoho hráče (s je velmi malé kladné číslo) se s narůstajícím počtem odehraných her postupně zesiluje (narůstá s druhou odmocninou hodnoty n). Čím jsou oba hráči vyrovnanější, tím více her je potřeba k tomu, aby se Q stalo významně větší než 1/2. Proto se také například tenisové zápasy na nejvyšší úrovni původně hrály na pět vítězných setů, a ne pouze na tři jako dnes.

Platí tedy obecné pravidlo, že hrají-li dva vyrovnaní soupeři na m vítězných her, narůstá nepatrná počáteční výhoda jednoho z nich jako funkce 2s√(n/π). Zhruba řečeno, je pravděpodobnost, že vyhrajete hru hranou na n vítězných bodů vždy alespoň o dva rozdílové body a následně vyhrajete m takových her, abyste zvítězili v celém zápase, bude 2√(m/π) × 2s √(n/π) = (4s/π)√(m × n).

Klíčovou hodnotou je zde m × n. Je-li součin m × n pro dva různé systémy počítání stejný, budou oba stejně spravedlivé v tom, do jaké míry odměňují u vyrovnaných soupeřů spíše dovednosti než štěstí. Jak je to tedy se změnou počítání ve stolním tenisu, kterou jsme zmínili na začátku? Dříve bylo potřeba n = 21 vítězných bodů k získání setu a k vítězství v zápasu byly potřeba dva sety (m = 2), protože se hrálo na vítězství ve třech setech. Takže m × n = 42. Nyní hrajeme na n = 11 vítězných bodů a hraje se na vítězství v sedmi setech, takže m = 4 a m × n = 44.

Čísla 42 a 44 jsou si natolik blízká, že se domníváme, že autoři změny počítání ve stolním tenise dobře věděli, jak na to. Nový systém je ohledně odměňování dovedností na úkor bodů získaných šťastnou náhodou skoro stejný jako ten původní, ale nabízí divákům téměř dvojnásobnou napínavost a menší zvýhodňování dlouhými sériemi podání. Společný prvek je zcela zřejmý: m × n je dobrým měřítkem celkového počtu výměn, které se v zápase sehrají. Ponechání této hodnoty zhruba na stejné úrovni je výhodné pro plánování (i pro plánování televizního programu), a zároveň se zachová i faktor odměňování dovedností na úkor nahodile šťastných zásahů.

Zdroj: John D. Barrow: Sto důležitých věcí o sportu, které nevíte (a ani nevíte, že je nevíte) – Matematika sportu

Dokořán 2015

O knize na stránkách vydavatele